sustitución trigonometrica

Sustitución trigonométrica

Podemos usar el método de sustitución trigonometrica para resolver integrales en que aparezcan lo radicales,

, y 

El objetivo consiste en eliminar los radicales del integrando. Con este fin, usamos las identidades pitagóricas,

Por ejemplo, si a>0, hacemos , donde . Entonces,

Nótese que , por que .

SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA 1. Para integrales que contienen , sea , entonces =  2. Para integrales que contienen , sea , entonces =  3. Para integrales que contienen , sea , entonces =

EJEMPLO 1 Sustitucion trigonometrica: 

Calcular 

Solucion Observe que es de la forma , luego usamos las sustitución,

La cual implica que,

,  y 

Por tanto,

EJEMPLO 2 Sustituciones trigonometricas 

Calcular 

SOLUCIÓN : Tomamos  entonces,

 y 

Así pues,

Mediante el uso de sustituciones trigonometricas se puede incluir integrales que contienen expresiones tales como , escribiendo la expresión de la forma,

Así como se muestra en el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 3 Sustitucion trigonometrica: potencias racionales

Calcular 

Solucion Escribimos en la forma  haciendo , entonces,

 y  por tanto,

EJEMPLO 4 Sustituciones trigonometricas para funciones racionales.

Evaluar 

Solucion Haciendo  tenemos que,

 y 

Luego,

Este tipo de integración por sustitución sale del teorema de pitagoras y se explica en los siguientes triángulos 

En la tabla siguiente se listan las sustituciones trigonométricas que son efectivas para las expresiones con radicales debido a las identidades trigonométricas específicas.