El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.
Las integrales por fracciones parciales es de la forma donde:
- P(x) y Q(x) son polinómios
- El grado de P(x) es menor que el de Q(x)
NOTA
- Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
- En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- - El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.
Caso I (Factores Lineales Distintos)
En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:(1)Encontrar A1,A2,AnEjemplo Caso I
Sea .Primero factorizamos el denominador nos quedaríaTenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribirCaso II (Factores Lineales Repetidos)
Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple en (1), se usaría(2)Ejemplo caso II
Si tenemosen el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2- Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos
- Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos
Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)
Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para tendrá un término de la formaEjemplo Caso III
Sea podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma y para el factor (x + 1)2 escribimos las fraccionesSumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)
Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial , escribimos la sumaEjemplo Caso IV
Sea usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda
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